引力波数据分析第一章题目

本系列文章旨在充实博客内容记录引力波数据分析课程的作业成果,标记为引用的题目部分是直接复制自胡教授引力波数据处理讲义的内容,大部分公式也来自该讲义,不再一一标出。

如果真的有人搜索到了本系列文章并参考,最好能标记一下引用哦。

Exercise1.1

调研双生子佯谬 (the twin paradox),用自己的语言简述问题,并尝试解释。

双生子佯谬是指一对孪生兄弟中的哥哥乘坐近光速飞船遨游太空,弟弟在地球上等着哥哥回来,而哥哥回到地球后会发现弟弟比自己老了。表面上看,这一结果似乎是存在矛盾的:两人在对方的眼里都是在运动的,因此都应该会觉得对方变老了。

双生子世界线

但是这个问题可以在狭义相对论的框架内解决:只有弟弟始终处在惯性系中(不考虑地球和太阳所带来的影响),而哥哥在旅行过程中必然是存在加速和减速过程的,并非始终处在惯性系中。而只有惯性系中的观察者是等价的,哥哥和弟弟的时空变化很显然不是对称的。因此这并不是悖论,只是一个“佯谬”。

下面更详细地用世界线来解释这一问题。如图 所示,我们假定哥哥的旅行分为五个阶段,画出惯性系下两兄弟的世界线(即弟弟所在的参考系),蓝色为弟弟的世界线,红色为哥哥的世界线。

O→A:哥哥在加速,弟弟的时间过去了两年。

A→B:哥哥匀速前进,弟弟的时间又过去了两年。

B→C:哥哥减速改变方向回地球,弟弟的时间过去了四年。

剩下的部分则是刚好相反的,可以看到在弟弟眼中,哥哥的时间流速是变慢的,因此自己会比哥哥老(12年过去了)。而在哥哥来看,由于尺缩效应,自己相对于地球的距离变短了(小于12光年),所以自己花费的时间也会变少,这也符合到达地球后的结果。

更简单的,我们假设哥哥的速度是,航行到了距离地球4光年的地方,其洛伦兹因子

在弟弟看来,哥哥的时间流速比自己慢,自己在地球上等待的时间是10年,而哥哥只过去了 年。而在哥哥看来,自己走过的路程由于尺缩效应,实际只有 光年,那么用的时间就是6年。

可以看到,两人的观察结果是相同的,并不存在悖论。

Exercise1.2

用矩阵形式写出 Lorentz 变换公式,即显式展开公式 1.16。

通常把洛伦兹变换的参数记为

那么洛伦兹变换的展开形式可以写作

Exercise1.3

试证,空间部分采用球坐标系时,坐标基底采取 ,利用 ,Minkowski 时空的度规可以写成

或者等价地,

球坐标系中的无穷小位移可以写作

那么相应的时空不变间隔可以写作

很容易写出,其对应的度规为