引力波数据分析第四章题目

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本系列文章旨在充实博客内容记录引力波数据分析课程的作业成果，标记为引用的题目部分是直接复制自胡教授引力波数据处理讲义的内容，大部分公式也来自该讲义，不再一一标出。

如果真的有人搜索到了本系列文章并参考，最好能标记一下引用哦。

Exercise 4.1

请根据公式 4.21 和公式 4.22，推导出旋转 角后 模的表达式

源坐标系下引力波的空间分量表示为

在 矢量张成的平面内，旋转 角度后得到的新基底为

新坐标基底下的引力波偏振单位张量

旋转前后引力波相等，即

代入即得

Exercise 4.2

参照图 4–5，证明对于激光干涉引力波探测器，在长波极限下的天线响应函数为公式 4.41。（提示：先得到 坐标系到 坐标系的旋转矩阵 ，再根据 分别求出投影到探测器坐标系下两个偏振基底的分量，即为 和 ，最后再考虑偏振角 的旋转带来的改变，即从 坐标系到 坐标系的转换。

首先绕 轴旋转 角，之后再绕 轴旋转 角，即可得到两个坐标系的旋转矩阵

同时地面激光干涉探测器的探测器张量为

那么旋转后的引力波空间分量记作

考虑相应的探测器张量只需要两项，代入后有

那么对应的天线相应函数

将上题中旋转 角后的引力波分量代入即可得到

Exercise 4.3

请根据公式 4.41，编写程序作图，画出 LIGO 等地面引力波探测器的天线响应函数。限定极化角 。

画出曲面，使得在 方向上，与原点的距离为 。

画出曲面，使得在 方向上，与原点的距离为 。

画出曲面，使得在 方向上，与原点的距离为

令极化角 ，容易画出天线响应函数的图形，如下所示。绘图代码在后面给出。

$r = |F_+(\theta, \phi)|$

$r = |F_\times(\theta, \phi)|$

$r = \sqrt{F_+^2(\theta, \phi)+F_\times^2(\theta, \phi)}$

绘图代码

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as axes3d

def f_plus(theta, phi):
    return(np.abs(0.5*(1+np.power(np.cos(theta),2))*np.cos(2*phi)))

def f_times(theta, phi):
    return(np.abs(np.cos(theta)*np.sin(2*phi)))

theta, phi= np.meshgrid(np.linspace(0, np.pi, 1000), np.linspace(0, 2*np.pi, 1000))
r_plus = f_plus(theta, phi)
r_times = f_times(theta, phi)
r_two = np.sqrt(np.power(r_plus, 2)+np.power(r_times,2))
def xyz(r, theta, phi):
    return r*np.sin(theta)*np.cos(phi), r*np.sin(theta)*np.sin(phi), r*np.cos(theta)
for r in (r_plus, r_times, r_two):
    x, y, z = xyz(r, theta, phi)
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(1,1,1, projection='3d')
    plot = ax.plot_surface(x, y, z)
    plt.show()